Bài tập nâng cao Nguyên lý Dirichlet lớp 6
Bài 1.
a) Trong một bảng ô vuông 5×5, người ta viết vào mỗi ô vuông chỉ một trong ba số 1; 0; −1 sau đó tính tổng của 5 số theo mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo. Chứng minh rằng trong tất cả các tổng đó luôn tồn tại hai tổng có giá trị bằng nhau.
b) Trong một bảng ô vuông 4×4, người ta viết vào mỗi ô vuông chỉ một trong hai số 0; 1 sao cho ở mỗi hàng, mỗi cột đều xuất hiện đủ cả số 0 và 1. Sau đó người ta tính tổng của các số theo từng hàng và từng cột. Chứng minh rằng trong tất cả các tổng đó luôn tồn tại ba tổng có giá trị bằng nhau.
Bài 2.
Cho ba số nguyên dương phân biệt, mỗi số chỉ có ước nguyên tố là 3. Chứng minh rằng trong ba số trên tồn tại hai số sao cho tích của chúng là số chính phương.
Bài 3.
Cho sáu số tự nhiên a,b,c,d,e,g. Chứng minh rằng trong sáu số ấy, tồn tại một số chia hết cho 6 hoặc tồn tại một vài số có tổng chia hết cho 6.
Bài 4.
Chứng minh rằng tồn tại một số gồm toàn các chữ số 3 và chia hết cho 29.
Bài 5.
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương sao cho 7^n có tận cùng là 001.
Bài 6.
Cho tập hợp A gồm 37 số nguyên dương đôi một phân biệt, không số nào lớn hơn 100. Chứng minh rằng trong tập hợp A luôn tìm được hai phần tử x,y thỏa mãn: x−y∈{3;6;9}
BÀI TẬP NÂNG CAO DIRICHLET
Bài 1. Trên bảng 10×10 ô vuông, ta điền vào mỗi ô số 1 hoặc −1, sau đó cộng tất cả các số trên mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo. Chứng minh rằng trong các tổng nhận được, có hai tổng có giá trị bằng nhau.
Bài 2. Cho ba số nguyên dương phân biệt, mỗi số chỉ có ước nguyên tố là 7. Chứng minh rằng trong ba số trên tồn tại hai số sao cho tích của chúng là số chính phương.
Bài 3.
a) Cho 6 số lẻ bất kì. Chứng minh rằng luôn tồn tại 2 số có hiệu chia hết cho 8.
b) Chứng minh rằng trong 7 số nguyên tố bất kì, tồn tại 2 số có hiệu chia hết cho 12.
Bài 4. Chứng minh rằng tồn tại một số gồm toàn các chữ số 7 và chia hết cho 31.
Bài 5. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên a sao cho 3^a có tận cùng bằng 01.
Bài 6. Có 10 đội bóng thi đấu với nhau vòng tròn một lượt, mỗi đội phải đấu đúng một trận với mỗi đội bóng khác. Chứng minh rằng vào bất cứ lúc nào cũng có hai đội đã đấu số trận như nhau.
Bài 7. Cho 50 số nguyên dương khác nhau, giá trị mỗi số không vượt quá 96. Chứng minh rằng luôn tìm được hai số mà hiệu của hai số đó bằng 3.
