Số chính phương là gì? Quy luật của các số chính phương

Số chính phương là một khái niệm quan trọng trong toán học. Dưới đây là giải thích chi tiết về số chính phương và quy luật của chúng:

1. Số chính phương là gì?

Số chính phương (tiếng Anh: Perfect square) là một số tự nhiên có thể viết dưới dạng bình phương của một số nguyên. Nói cách khác, một số $n$ là số chính phương nếu tồn tại một số nguyên $k$ sao cho n=k2.

Ví dụ:

• 0=0^2
• 1=1^2
• 4=2^2
• 9=3^2
• 16=4^2
• 25=5^&2
• 100=10^2

2. Quy luật của các số chính phương

Các số chính phương có một số quy luật và đặc điểm thú vị:

a. Quy luật về chữ số tận cùng:

Các số chính phương chỉ có thể có các chữ số tận cùng là: $0,1,4,5,6,9$. Điều này có thể được chứng minh bằng cách xét bình phương của các chữ số từ 0 đến 9:

• 0^2=0
• 1^2=1
• 2^2=4
• 3^2=9
• 4^2=16 (tận cùng là 6)
• 5^2=25 (tận cùng là 5)
• 6^2=36 (tận cùng là 6)
• 7^2=49 (tận cùng là 9)
• 8^2=64 (tận cùng là 4)
• 9^2=81 (tận cùng là 1)

Do đó, một số có chữ số tận cùng là $2,3,7,8$ chắc chắn không phải là số chính phương.

b. Quy luật về chữ số hàng chục:

• Nếu số chính phương có chữ số tận cùng là $6$, thì chữ số hàng chục của nó phải là số lẻ ($1,3,5,7,9$). Ví dụ: $16,36,196,256,1296$.
• Nếu số chính phương có chữ số tận cùng là $0$, thì chữ số hàng chục của nó phải là $0$. Ví dụ: $100,400,900,1600$. (Nói cách khác, số chính phương kết thúc bằng $0$ phải kết thúc bằng một số chẵn các chữ số $0$).
• Nếu số chính phương có chữ số tận cùng là $1,4,5,9$, thì chữ số hàng chục của nó phải là số chẵn ($0,2,4,6,8$). Ví dụ: $1,4,9,25,49,64,81,121,144,225,289$.

c. Quy luật về tổng các chữ số (mod 9):

Tổng các chữ số của một số chính phương khi chia cho 9 chỉ có thể dư $0,1,4,7$.

• k^2(mod9) chỉ có thể là $0,1,4,7$.
  • 0^2≡0(mod9)
  • 1^2≡1(mod9)
  • 2^2=4≡4(mod9)
  • 3^2=9≡0(mod9)
  • 4^2=16≡7(mod9)
  • 5^2=25≡7(mod9)
  • 6^2=36≡0(mod9)
  • 7^2=49≡4(mod9)
  • 8^2=64≡1(mod9)

d. Quy luật về số ước:

Số chính phương có số ước là một số lẻ. Ngược lại, các số tự nhiên không phải số chính phương có số ước là một số chẵn.

e. Quy luật về dạng của số chính phương:

• Mọi số chính phương khi chia cho 4 chỉ có số dư là 0 hoặc 1.
  • Nếu $k$ là số chẵn ($k=2m$), thì k^2=(2m)2=4m^2≡0(mod4).
  • Nếu $k$ là số lẻ ($k=2m+1$), thì k^2=(2m+1)^2=4m^2+4m+1=4(m^2+m)+1≡1(mod4).
• Mọi số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1.
  • Nếu $k\equiv 0(\mathrm{mod}3)$, thì k^2≡0(mod3).
  • Nếu $k\equiv 1(\mathrm{mod}3)$, thì k^2≡1(mod3).
  • Nếu $k\equiv 2(\mathrm{mod}3)$, thì k^2≡4≡1(mod3).

f. Khoảng cách giữa các số chính phương liên tiếp:

Khoảng cách giữa hai số chính phương liên tiếp tăng dần: (n+1)^2−n^2=n^2+2n+1−n^2=2n+1. Ví dụ:

• 1^2−0^2=1
• 2^2−1^2=3
• 3^2−2^2=5
• 4^2−3^2=7

Các quy luật này rất hữu ích trong việc nhận biết và giải các bài toán liên quan đến số chính phương.