Bài toán Hàn Tín điểm binh – Một bài toán kinh điển

✅ Bài toán Hàn Tín điểm binh – Một bài toán kinh điển trong số học Trung Hoa cổ đại:

❓ Đề bài gốc (truyền thuyết):

Hàn Tín muốn điểm binh, nhưng binh lính quá đông không thể đếm từng người. Ông bèn cho họ xếp hàng:

• Cứ 5 người một hàng thì thừa 1 người

• Cứ 6 người một hàng thì thừa 5 người

• Cứ 7 người một hàng thì thừa 4 người

Hỏi số binh lính ít nhất là bao nhiêu?

Đáp số: 11, 221, ....

🧠 Giải thích vì sao chỉ có 11 người mà Hàn Tín cũng không đếm được:

Câu chuyện Hàn Tín điểm binh là một bài toán mang tính ẩn dụ, không phải ghi lại một sự kiện lịch sử có thật.

✅ Ý nghĩa thật sự:

1. Đề bài chỉ yêu cầu tìm số nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện, chứ không nói rằng Hàn Tín chỉ có 11 người.

   • Số 11 là nghiệm nhỏ nhất của hệ phương trình đồng dư, nhưng nghiệm chung là vô hạn:

     x≡11mod  210⇒x=11,221,431,641,…

     → Hàn Tín có thể có 221, 431... binh lính.

2. Truyền thuyết dùng ẩn dụ xếp hàng để minh họa bài toán số học, chứ không phản ánh việc đếm lính thực sự.

3. Ở thời cổ, chưa có chữ số Hindu–Arab để đếm hiệu quả, nên "xếp hàng xem thừa bao nhiêu" là cách suy luận khôn ngoan.

🔍 Vậy tại sao ẩn dụ lại ra số bé nhất là 11?

• Vì hệ đồng dư có nghiệm tuần hoàn theo bội số của bội chung lớn nhất
  → Chu kỳ là 5⋅6⋅7=210
  → Nghiệm nhỏ nhất thỏa cả 3 điều kiện là 11
  → Nhưng không có nghĩa là số lính chỉ có 11 người 😄

✅ Kết luận:

• 11 là nghiệm nhỏ nhất, nhưng không phải số lính thật sự

• Hàn Tín có thể có 221, 431,... người lính

• Câu chuyện chỉ là một ẩn dụ tuyệt vời cho hệ phương trình đồng dư — một nền tảng cho số học hiện đại!

❓Bài toán Hàn Tín nâng cao:

Một viên tướng muốn điểm binh, nhưng không thể đếm từng người. Ông ra lệnh binh sĩ xếp hàng theo các cách sau:

• Cứ 9 người một hàng thì thừa 7 người

• Cứ 11 người một hàng thì thừa 6 người

• Cứ 13 người một hàng thì thừa 5 người

• Biết số lính nhỏ hơn 2000, hỏi số lính là bao nhiêu?

❓Bài toán Hàn Tín Siêu Khó – Cấp Đại Tướng:

Một viên tướng muốn biết số binh lính của mình nên cho họ xếp hàng theo các cách sau:

• Cứ 17 người một hàng thì thừa 11 người

• Cứ 16 người một hàng thì thừa 9 người

• Cứ 15 người một hàng thì thừa 8 người

• Cứ 14 người một hàng thì thừa 7 người

• Cứ 13 người một hàng thì thừa 6 người

• Cứ 12 người một hàng thì thừa 5 người

• Cứ 11 người một hàng thì thừa 4 người

• Biết rằng số binh lính không quá 100000.
  Hỏi số binh lính là bao nhiêu?

• ✅ Đáp án: Số binh lính nhỏ nhất thỏa mãn tất cả điều kiện là:960953

• ​