Liên phân số là gì? ứng dụng của liên phân số? Phương trình Pell

Liên phân số (hay còn gọi là phân số liên tục, trong tiếng Anh là continued fraction) là một biểu diễn đặc biệt của một số thực dưới dạng:

Trong đó $a_0$ là một số nguyên, và các $\dots$ là các số nguyên dương.

⚙️ Ứng dụng của liên phân số:

Biểu diễn số vô tỉ (ví dụ: căn
Tìm xấp xỉ tốt nhất của số thực bằng phân số (rất hữu ích trong số học, lý thuyết số)
Giải phương trình Diophantine (như phương trình Pell)
Giải toán có căn thức (ví dụ: căn n dưới dạng liên phân số tuần hoàn

💡 Tính chất hay:

Liên phân số hữu hạn biểu diễn số hữu tỉ
Liên phân số vô hạn biểu diễn số vô tỉ
Số vô tỉ nhưng căn thức như căn 2 , căn 3 $, \dots$ có liên phân số tuần hoàn

Liên phân số là một công cụ rất mạnh mẽ trong toán học, đặc biệt trong số học, giải tích, lý thuyết số, và một số ứng dụng giải phương trình Diophantine. Dưới đây là các ứng dụng quan trọng của liên phân số:

🔹 1. Tìm phân số xấp xỉ tốt nhất cho số thực

Liên phân số cho phép ta tìm ra những phân số xấp xỉ tốt nhất (best rational approximations) cho một số thực bất kỳ.

🔹 3. Phân tích và tính toán căn thức tuần hoàn

Các căn thức như $n\sqrt{n}$ (với $n$ không phải số chính phương) có biểu diễn liên phân số tuần hoàn, dùng để:

Phân tích đặc điểm của số
Giải bài toán liên quan đến số vô tỉ, xấp xỉ căn thức

🔹 4. Giải bài toán đồng hồ – lịch sử – thiên văn học

Trước khi có máy tính, các nhà thiên văn học đã dùng liên phân số để xấp xỉ số đo góc, chu kỳ hành tinh, thời gian… với phân số đơn giản nhưng cực kỳ chính xác.

🔹 5. Ứng dụng trong mã hóa và lý thuyết thông tin

Trong một số thuật toán như:

RSA (liên quan đến phân tích số nguyên lớn)
Thuật toán Euclid mở rộng
Dùng để tìm nghịch đảo modulo (một bước trong giải mã RSA), liên phân số đóng vai trò then chốt.

🔹 6. Tìm căn bậc hai bằng liên phân số

Liên phân số cho phép lặp để tính gần đúng căn bậc hai mà không dùng máy tính.

🔹 7. Trong hình học Diophantine

Liên phân số giúp giải các bài toán hình học số học, ví dụ tìm các điểm có tọa độ nguyên gần một đường thẳng, tính góc trong hình học số học…

🔹 8. Chứng minh số vô tỉ

Một số có liên phân số vô hạn không tuần hoàn thì chắc chắn là số vô tỉ. Ví dụ:

$e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, ...]$ → là số vô tỉ

👉 Tóm lại:

Ứng dụng chính	Mục tiêu cụ thể
Xấp xỉ số thực	Dùng trong tính toán chính xác
Giải phương trình Diophantine	Nhất là phương trình Pell
Phân tích căn thức	Dùng cho $n\sqrt{n}$ không chính phương
Lý thuyết số – mã hóa – thuật toán	Dùng trong RSA, thuật toán Euclid mở rộng
Lịch sử, thiên văn học, cơ học lượng tử	Tính toán góc, thời gian, chu kỳ

Liên phân số là gì? ứng dụng của liên phân số? Phương trình Pell