Bài toán đa giác đều n cạnh - Học sinh giỏi, quốc gia, quốc tế Lớp 6
BÀI TOÁN ĐA GIÁC ĐỀU N CẠNH
Bài toán đa giác đều n cạnh là một dạng toán hình học thường gặp trong chương trình Toán THCS và THPT, với nhiều biến thể liên quan đến tính toán góc, độ dài, diện tích, số đường chéo,... Dưới đây là các kiến thức và dạng toán cơ bản liên quan đến đa giác đều nnn cạnh:
🔶 Định nghĩa Đa giác đều là đa giác có:
- Tất cả các cạnh bằng nhau
- Tất cả các góc bằng nhau
🔷 Các công thức cơ bản cho đa giác đều nnn cạnh
Gọi n là số cạnh của đa giác đều, a là độ dài một cạnh, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, rrr là bán kính đường tròn nội tiếp.
1. Số đường chéo:
Số đường chéo=n(n−3)/2
2. Góc trong và góc ngoài
- Tổng các góc trong: (n−2)⋅180∘
- Mỗi góc trong:(n−2)⋅180∘/n
- Mỗi góc ngoài: 360∘/n
3. Chu vi P=n⋅a
4. Diện tích đa giác đều (khi biết độ dài cạnh a):S=na^2/4⋅cot(π/n)
Hoặc nếu biết bán kính đường tròn ngoại tiếp R: S=nR^2/2⋅sin(2π/n)
5. Bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp
- Bán kính ngoại tiếp R: R=a/2sin(π/n)
- Bán kính nội tiếp r: r=a/2tan(π/n)
🔸 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính số đường chéo của đa giác đều 12 cạnh.
12⋅(12−3)/2=54
Ví dụ 2: Một đa giác đều có mỗi góc trong bằng 140∘. Tìm số cạnh của nó.
(n−2)⋅180/n=140⇒180n−360=140n⇒40n=360⇒n=9
BÀI TẬP 1: TÌM GÓC. TÌM TỔNG GÓC TRONG, TỔNG GÓC NGOÀI, GÓC TRONG, GÓC NGOÀI
Bài 2: Dưới đây là một số dạng bài tập tìm n khi biết góc trong tam giác đều hoặc đa giác đều, thường gặp trong chương trình Toán THCS–THPT (đặc biệt lớp 9 và lớp 11 Hình học):
📘 DẠNG 1: Tìm số cạnh n của đa giác đều khi biết số đo góc trong (hoặc góc ngoài)
🔹 Công thức cần nhớ:
- Góc trong của đa giác đều: A=(n−2)⋅180∘/n
Góc ngoài: B=360∘/n
📌 Ví dụ 1: Tìm n biết góc trong là 150∘
Áp dụng: (n−2)⋅180/n=150⇒(n−2)⋅180=150n⇒180n−360=150n⇒30n=360⇒n=12
📘 DẠNG 2: Tìm n trong các bài toán xoay quanh tổng các góc
📌 Ví dụ 2: Một đa giác đều có tổng các góc trong bằng 2340∘. Tìm n?
- Công thức tổng góc trong: S=(n−2)⋅180⇒(n−2)⋅180=2340⇒n−2=2340180=13⇒n=15
📘 DẠNG 3: Tìm n khi biết số đo một góc tạo bởi hai đường chéo, hoặc góc giữa hai bán kính... (bài nâng cao)
📌 Ví dụ 3: Một đa giác đều nội tiếp đường tròn. Góc ở tâm chắn một cạnh là 30∘. Tìm n?
- Do đa giác đều nội tiếp ⇒ mỗi cung chắn giữa 2 đỉnh là 360∘/n
360∘/n=30∘⇒n=12
📘 DẠNG 4: Trong tam giác đều chia thành các tam giác nhỏ, hoặc các bài về hình học tổ hợp
📌 Ví dụ 4: Một đa giác đều được chia thành tam giác bằng nhau, mỗi tam giác có góc ở tâm là 60∘. Tìm số cạnh đa giác?
Số tam giác = số cung = n⇒360∘n=60∘⇒n=6
✅ GỢI Ý TỔNG QUÁT:
| Dạng | Dữ kiện cho | Công thức | Tìm |
| Góc trong | A | A=(n−2)⋅180/n | n |
| Góc ngoài | B | B=360/n | n |
| Tổng góc trong | S | S=(n−2)⋅180 | n |
| Góc ở tâm | α | α=360/n | n |
