Bài toán đánh số thứ tự hàng ngang
Xếp ngẫu nhiên 8 bạn nam và 3 bạn nữ thành hàng ngang một cách ngẫu nhiên. Hãy tính xác suất để sao cho giữa hai bạn nữ có ít nhất hai bạn nam.
Giải
Đánh số thứ tự các vị trí cần xếp từ 1, 2, ..., 11.
Xếp cố định thứ tự 3 bạn nữ vào 3 vị trí x1, x2, x3 sao cho:
1 ≤ x1 < x2 < x3 ≤ 11
Vì giữa hai bạn nữ có ít nhất 2 bạn nam nên:
x2 − x1 ≥ 3, x3 − x2 ≥ 3.
Đặt:
a1 = x1, a2 = x2 − 2, a3 = x3 − 4.
Khi đó:
1 ≤ a1 < a2 < a3 ≤ 7.
Số cách chọn bộ (a1, a2, a3) là:
C(7,3)
Sau khi đã chọn được vị trí cho 3 bạn nữ:
- Xếp 3 bạn nữ vào 3 vị trí đó có: 3! cách.
- Xếp 8 bạn nam vào 8 vị trí còn lại có: 8! cách.
Suy ra số cách thuận lợi là:
n(A) = C(7,3) · 3! · 8!
Tổng số cách xếp 11 bạn là:
n(Ω) = 11!
Vậy xác suất cần tìm là:
P(A) = n(A) / n(Ω)
= [C(7,3) · 3! · 8!] / 11!
= 7 / 33.
Bài toán đánh số thứ tự vòng
Quanh chu vi một bờ ao đang có 20 cây được trồng cách đều nhau. Để giảm mật độ cây vì nó đang quá dày, người ta có kế hoạch loại bỏ đi 4 cây, sao cho các cây định sẽ loại bỏ không đứng cạnh nhau.
Hỏi có tất cả bao nhiêu cách loại bỏ để thỏa mãn yêu cầu của kế hoạch?
Giải
Đánh số các cây từ 1, 2, ..., 20 theo thứ tự quanh bờ ao.
Gọi 4 cây bị loại là x1 < x2 < x3 < x4.
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: x4 = 20
Khi đó do cây số 20 kề cây số 1 nên cây số 1 không bị loại.
Suy ra:
2 ≤ x1 < x2 < x3 < 20
và:
x2 − x1 ≥ 2, x3 − x2 ≥ 2, 20 − x3 ≥ 2.
Đặt:
a1 = x1, a2 = x2 − 1, a3 = x3 − 2.
Khi đó:
2 ≤ a1 < a2 < a3 ≤ 15.
Số cách chọn là:
C(15,3)
Trường hợp 2: x4 < 20
Khi đó:
1 ≤ x1 < x2 < x3 < x4 ≤ 19
và:
x2 − x1 ≥ 2, x3 − x2 ≥ 2, x4 − x3 ≥ 2.
Đặt:
b1 = x1, b2 = x2 − 1, b3 = x3 − 2, b4 = x4 − 3.
Khi đó:
1 ≤ b1 < b2 < b3 < b4 ≤ 16.
Số cách chọn là:
C(16,4)
Vậy tổng số cách loại bỏ là:
C(15,3) + C(16,4)
= 455 + 1820
= 2275 cách.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài tập tự luyện dạng 1: Xếp nam nữ thỏa điều kiện khoảng cách
- Xếp ngẫu nhiên 6 bạn nam và 2 bạn nữ thành một hàng ngang. Tính xác suất để giữa hai bạn nữ có ít nhất 3 bạn nam.
Đáp số: P = 3/7.
- Xếp ngẫu nhiên 7 bạn nam và 3 bạn nữ thành một hàng ngang. Tính xác suất để giữa hai bạn nữ bất kỳ có ít nhất 1 bạn nam.
Đáp số: P = 7/15.
- Xếp ngẫu nhiên 9 bạn nam và 2 bạn nữ thành một hàng ngang. Tính xác suất để hai bạn nữ không đứng cạnh nhau.
Đáp số: P = 9/11.
- Xếp ngẫu nhiên 8 bạn nam và 4 bạn nữ thành một hàng ngang. Tính xác suất để giữa hai bạn nữ liên tiếp luôn có ít nhất 1 bạn nam.
Đáp số: P = 14/55.
- Xếp ngẫu nhiên 10 bạn nam và 3 bạn nữ thành một hàng ngang. Tính xác suất để giữa hai bạn nữ có ít nhất 2 bạn nam.
Đáp số: P = 28/143.
Bài tập tự luyện dạng 2: Chọn cây trên đường tròn không kề nhau
- Trên một vòng tròn có 12 cây trồng cách đều nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 cây để chặt đi sao cho không có hai cây nào kề nhau?
Đáp số: 112 cách.
- Trên một vòng tròn có 15 cây trồng cách đều nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 cây để chặt đi sao cho không có hai cây nào kề nhau?
Đáp số: 660 cách.
- Trên một vòng tròn có 18 cây trồng cách đều nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 cây để chặt đi sao cho không có hai cây nào kề nhau?
Đáp số: 1428 cách.
- Quanh một bờ ao có 10 cây. Hỏi có bao nhiêu cách loại bỏ 2 cây sao cho hai cây bị loại không đứng cạnh nhau?
Đáp số: 35 cách.
- Quanh chu vi một bồn hoa có 16 cây được trồng cách đều nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 cây để nhổ đi sao cho không có hai cây nào đứng cạnh nhau?
Đáp số: 532 cách.
