Bài toán diện tích toàn phần nhỏ nhất của hình hộp chữ nhật?

Một hình hộp chữ nhật có thể tích là 30 và các cạnh có độ dài nguyên. Tính diện tích toàn phần nhỏ nhất của hình hộp chữ nhật

Cách giải quyết

Gọi độ dài ba cạnh của hình hộp chữ nhật là $a, b, c$ .

Thể tích của hình hộp chữ nhật được tính bằng công thức: $V = a \times b \times c$ .
Theo đề bài, $V = 30$ , và $a, b, c$ là các số nguyên dương.
Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật được tính bằng công thức: $S_{tp} = 2 \times (ab + b c + c a)$ .

Để tìm diện tích toàn phần nhỏ nhất, chúng ta cần tìm tất cả các bộ ba số nguyên $(a, b, c)$ sao cho $a \times b \times c = 30$ và sau đó tính diện tích toàn phần cho mỗi bộ ba.

Đầu tiên, chúng ta cần tìm các cách phân tích số 30 thành tích của ba số nguyên dương.

Các bộ ba số nguyên $(a, b, c)$ có tích bằng 30 (lưu ý thứ tự không quan trọng):

$1 \times 1 \times 30$ : $S_{tp} = 2 \times (1 \times 1 + 1 \times 30 + 30 \times 1) = 2 \times (1 + 30 + 30) = 2 \times 61 = 122$
$1 \times 2 \times 15$ : $S_{tp} = 2 \times (1 \times 2 + 2 \times 15 + 15 \times 1) = 2 \times (2 + 30 + 15) = 2 \times 47 = 94$
$1 \times 3 \times 10$ : $S_{tp} = 2 \times (1 \times 3 + 3 \times 10 + 10 \times 1) = 2 \times (3 + 30 + 10) = 2 \times 43 = 86$
$1 \times 5 \times 6$ : $S_{tp} = 2 \times (1 \times 5 + 5 \times 6 + 6 \times 1) = 2 \times (5 + 30 + 6) = 2 \times 41 = 82$
$2 \times 3 \times 5$ : $S_{tp} = 2 \times (2 \times 3 + 3 \times 5 + 5 \times 2) = 2 \times (6 + 15 + 10) = 2 \times 31 = 62$

So sánh các kết quả tính được: $122, 94, 86, 82, 62$ .

Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của diện tích toàn phần là 62. Điều này xảy ra khi các cạnh của hình hộp chữ nhật có độ dài là 2, 3 và 5.

Bài toán diện tích toàn phần nhỏ nhất của hình hộp chữ nhật?