Bài toán đoàn tàu qua hầm, qua cầu

Bài toán đoàn tàu qua hầm, cầu là một dạng bài toán chuyển động khá phổ biến, thường xuất hiện trong chương trình toán tiểu học và trung học cơ sở. Đây là một dạng bài toán ứng dụng thực tế để học sinh rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề.

Nội dung chính của bài toán

Khi một đoàn tàu đi qua một cây cầu, một đường hầm, hoặc gặp một đoàn tàu khác, ta cần xác định quãng đường mà đoàn tàu đã đi được. Quãng đường này không chỉ là chiều dài của cây cầu hay đường hầm mà còn bao gồm cả chiều dài của chính đoàn tàu.

Các công thức cần nhớ

Để giải các bài toán này, ta cần áp dụng các công thức cơ bản về chuyển động đều:

Quãng đường ( $S$ ) = Vận tốc ( $v$ ) x Thời gian ( $t$ )
Vận tốc ( $v$ ) = Quãng đường ( $S$ ) / Thời gian ( $t$ )
Thời gian ( $t$ ) = Quãng đường ( $S$ ) / Vận tốc ( $v$ )

Các dạng bài toán và cách giải

Dạng 1: Đoàn tàu chạy qua một cái hầm hoặc một cây cầu

Mô tả: Đoàn tàu chạy từ lúc đầu tàu bắt đầu vào hầm/cầu cho đến lúc toa cuối cùng ra khỏi hầm/cầu.
Quãng đường ( $S$ ): Quãng đường đoàn tàu đã đi được sẽ bằng tổng chiều dài của đoàn tàu và chiều dài của hầm/cầu. $S = C hi e^ˋ u d a ˋ i đ o a ˋ n t a ˋ u + C hi e^ˋ u d a ˋ i h a^ˋ m / c a^ˋ u$
Ví dụ: Một đoàn tàu dài 120m đi qua một cây cầu dài 480m với vận tốc 30m/s. Tính thời gian đoàn tàu đi qua cầu.
- Quãng đường đoàn tàu đi được: $120 m + 480 m = 600 m$
- Thời gian: $t = S / v = 600/30 = 20 s$
- Đáp số: 20 giây.

Dạng 2: Đoàn tàu vượt qua một đoàn tàu khác

Mô tả: Có hai trường hợp là hai đoàn tàu đi cùng chiều và đi ngược chiều.
Khi hai đoàn tàu đi cùng chiều:
- Quãng đường ( $S$ ): Quãng đường đoàn tàu vượt đi được so với đoàn tàu bị vượt chính là tổng chiều dài của cả hai đoàn tàu.
- Vận tốc tương đối ( $v_{t đ}$ ): Vận tốc của đoàn tàu vượt so với đoàn tàu bị vượt sẽ bằng hiệu vận tốc của hai đoàn tàu. $v_{t đ} = v_{đ o a ˋ n t a ˋ u v ư ợ t} - v_{đ o a ˋ n t a ˋ u b ị v ư ợ t}$
- Thời gian ( $t$ ): $t = S / v_{t đ} = (C hi e^ˋ u d a ˋ i t a ˋ u 1 + C hi e^ˋ u d a ˋ i t a ˋ u 2) / (v_{1} - v_{2})$
Khi hai đoàn tàu đi ngược chiều:
- Quãng đường ( $S$ ): Tương tự, quãng đường đoàn tàu đi được sẽ bằng tổng chiều dài của cả hai đoàn tàu.
- Vận tốc tương đối ( $v_{t đ}$ ): Vận tốc của hai đoàn tàu so với nhau sẽ bằng tổng vận tốc của hai đoàn tàu. $v_{t đ} = v_{đ o a ˋ n t a ˋ u 1} + v_{đ o a ˋ n t a ˋ u 2}$
- Thời gian ( $t$ ): $t = S / v_{t đ} = (C hi e^ˋ u d a ˋ i t a ˋ u 1 + C hi e^ˋ u d a ˋ i t a ˋ u 2) / (v_{1} + v_{2})$

Dạng 3: Đoàn tàu chạy qua một cột điện

Mô tả: Một đoàn tàu chạy qua một cột điện (coi cột điện là một điểm).
Quãng đường ( $S$ ): Quãng đường đoàn tàu đi được trong trường hợp này chính là chiều dài của đoàn tàu. $S = C hi e^ˋ u d a ˋ i đ o a ˋ n t a ˋ u$
Công thức: $t = C hi e^ˋ u d a ˋ i đ o a ˋ n t a ˋ u / v_{đ o a ˋ n t a ˋ u}$

BÀI TOÁN ĐOÀN TÀU QUA HẦM, QUA CẦU
Một đoàn tàu đi qua một cây cầu dài 300m mất 40 giây. Nếu đoàn tàu đó đi qua một cột điện mất 10 giây. Tính chiều dài và vận tốc của đoàn tàu.

Bài 1: Một đoàn tàu dài 150m chạy qua một đường hầm hết 30 giây. Biết vận tốc của đoàn tàu là 54km/h. Hỏi đường hầm đó dài bao nhiêu mét?
Bài 2: Một đoàn tàu đi qua một cây cầu dài 300m mất 40 giây. Nếu đoàn tàu đó đi qua một cột điện mất 10 giây. Tính chiều dài và vận tốc của đoàn tàu.
Bài 3: Một người đứng cạnh đường ray xe lửa thấy một đoàn tàu đi qua trước mặt mình hết 15 giây. Sau đó, đoàn tàu đi qua một cây cầu dài 450m hết 45 giây. Tìm chiều dài và vận tốc của đoàn tàu.
Bài 4: Một đoàn tàu dài 120m đi qua một đường hầm dài 600m. Thời gian đoàn tàu bắt đầu vào hầm đến khi toa cuối cùng ra khỏi hầm là 1 phút 12 giây. Tính vận tốc của đoàn tàu đó theo km/h.
Bài 5: Hai đoàn tàu đi ngược chiều nhau trên hai đường ray song song. Đoàn tàu thứ nhất dài 180m chạy với vận tốc 40km/h. Đoàn tàu thứ hai dài 120m chạy với vận tốc 32km/h. Hỏi từ lúc đầu tàu của hai đoàn gặp nhau cho đến khi toa cuối cùng của chúng rời nhau mất bao nhiêu giây?

Hướng dẫn giải
Bài 1
Một đoàn tàu dài 150m chạy qua một đường hầm hết 30 giây. Biết vận tốc của đoàn tàu là 54km/h. Hỏi đường hầm đó dài bao nhiêu mét?
Phân tích:
• Vận tốc: 54km/h. Ta cần đổi sang m/s để thống nhất đơn vị. 54km/h=54000m/3600s=15m/s.
• Thời gian: 30s.
• Quãng đường: Quãng đường đoàn tàu đi được để qua hầm bằng tổng chiều dài của đoàn tàu và chiều dài của hầm. S=Chie^ˋu daˋi đoaˋn taˋu+Chie^ˋu daˋi ha^ˋm
• Công thức: S=v×t
Lời giải:
1. Đổi vận tốc của đoàn tàu: 54km/h=54×36001000 m/s=15 m/s.
2. Tính tổng quãng đường đoàn tàu đi được (chiều dài tàu + chiều dài hầm): S=15 m/s×30 s=450 m.
3. Tính chiều dài của đường hầm: 450 m−150 m=300 m.
Đáp số: Đường hầm dài 300m.
Bài 2
Một đoàn tàu đi qua một cây cầu dài 300m mất 40 giây. Nếu đoàn tàu đó đi qua một cột điện mất 10 giây. Tính chiều dài và vận tốc của đoàn tàu.
Phân tích:
• Khi đi qua cột điện, quãng đường đoàn tàu đi được chính là chiều dài của đoàn tàu.
• Khi đi qua cây cầu, quãng đường đoàn tàu đi được bằng tổng chiều dài của đoàn tàu và cây cầu.
• Vận tốc của đoàn tàu là không đổi.
Lời giải:
1. Gọi L là chiều dài của đoàn tàu và v là vận tốc của đoàn tàu.
2. Thời gian đi qua cột điện là 10 giây. Ta có: L=v×10
3. Thời gian đi qua cây cầu là 40 giây. Quãng đường là L+300. Ta có: L+300=v×40
4. Thay L=10×v vào phương trình thứ hai: 10×v+300=40×v 300=30×v v=300/30=10 m/s.
5. Tính chiều dài của đoàn tàu: L=10 m/s×10 s=100 m.
Đáp số: Chiều dài đoàn tàu là 100m và vận tốc là 10m/s.
Bài 3
Một người đứng cạnh đường ray xe lửa thấy một đoàn tàu đi qua trước mặt mình hết 15 giây. Sau đó, đoàn tàu đi qua một cây cầu dài 450m hết 45 giây. Tìm chiều dài và vận tốc của đoàn tàu.
Phân tích:
• Khi đi qua một người (tương tự cột điện), quãng đường đi được chính là chiều dài của đoàn tàu.
• Thời gian đi qua người là 15 giây.
• Thời gian đi qua cầu là 45 giây.
• Hiệu thời gian đi qua cầu và đi qua người (45s−15s=30s) là thời gian đoàn tàu đi được quãng đường bằng chiều dài của cây cầu (450m).
Lời giải:
1. Khoảng thời gian thêm để đoàn tàu đi qua cây cầu là: 45 s−15 s=30 s.
2. Trong 30 giây này, đoàn tàu đã đi được quãng đường bằng chiều dài của cây cầu (450m).
3. Vận tốc của đoàn tàu là: v=450 m/30 s=15 m/s.
4. Chiều dài của đoàn tàu là: L=v×t=15 m/s×15 s=225 m.
Đáp số: Chiều dài đoàn tàu là 225m và vận tốc là 15m/s.
Bài 4
Một đoàn tàu dài 120m đi qua một đường hầm dài 600m. Thời gian đoàn tàu bắt đầu vào hầm đến khi toa cuối cùng ra khỏi hầm là 1 phút 12 giây. Tính vận tốc của đoàn tàu đó theo km/h.
Phân tích:
• Tổng quãng đường: Chiều dài tàu + chiều dài hầm.
• Tổng thời gian: 1 phút 12 giây. Ta cần đổi ra giây.
• Công thức: v=S/t.
• Sau khi tính được vận tốc theo m/s, ta đổi sang km/h.
Lời giải:
1. Đổi thời gian: 1 phuˊt 12 giaˆy=60 giaˆy+12 giaˆy=72 giaˆy.
2. Tính tổng quãng đường đoàn tàu đi được: S=120 m+600 m=720 m.
3. Tính vận tốc của đoàn tàu theo m/s: v=720 m/72 s=10 m/s.
4. Đổi vận tốc sang km/h: 10 m/s=10×3600/1000 km/h=36 km/h.
Đáp số: Vận tốc của đoàn tàu là 36km/h.
________________________________________
Bài 5
Hai đoàn tàu đi ngược chiều nhau trên hai đường ray song song. Đoàn tàu thứ nhất dài 180m chạy với vận tốc 40km/h. Đoàn tàu thứ hai dài 120m chạy với vận tốc 32km/h. Hỏi từ lúc đầu tàu của hai đoàn gặp nhau cho đến khi toa cuối cùng của chúng rời nhau mất bao nhiêu giây?
Phân tích:
• Đây là bài toán chuyển động ngược chiều.
• Tổng quãng đường: Bằng tổng chiều dài của hai đoàn tàu.
• Vận tốc tương đối: Khi hai vật chuyển động ngược chiều, vận tốc tương đối bằng tổng vận tốc của hai vật.
• Đơn vị: Vận tốc đang là km/h và chiều dài là mét. Ta cần đổi tất cả sang cùng một hệ đơn vị.
Lời giải:
1. Đổi vận tốc của hai đoàn tàu sang m/s:
o Vận tốc đoàn 1: 40 km/h=40×36001000 m/s≈11.11 m/s.
o Vận tốc đoàn 2: 32 km/h=32×36001000 m/s≈8.89 m/s.
2. Tính tổng quãng đường hai đoàn tàu phải đi để vượt qua nhau: S=180 m+120 m=300 m.
3. Tính vận tốc tương đối (tổng vận tốc) của hai đoàn tàu: vtđ=11.11 m/s+8.89 m/s=20 m/s.
4. Tính thời gian hai đoàn tàu vượt qua nhau: t=S/vtđ=300 m/20 m/s=15 giaˆy.
Đáp số: Thời gian hai đoàn tàu vượt qua nhau là 15 giây.
BÀI TƯƠNG TỰ
Bài 1
Một đoàn tàu chạy với vận tốc 90km/h. Cần 25s để nó đi qua một đường hầm dài 400m. Hỏi đoàn tàu đó dài bao nhiêu mét?
Bài 2
Một đoàn tàu dài 180m đi qua một cây cầu hết 50 giây. Nếu đoàn tàu đó đi qua một cột điện hết 15 giây. Hỏi cây cầu đó dài bao nhiêu mét?
Bài 3
Hai đoàn tàu chạy cùng chiều trên hai đường ray song song. Đoàn tàu A dài 200m có vận tốc 72km/h. Đoàn tàu B dài 150m có vận tốc 54km/h. Hỏi từ lúc đầu tàu của đoàn A bắt kịp đầu tàu của đoàn B cho đến khi toa cuối cùng của đoàn A vượt qua toa cuối cùng của đoàn B mất bao nhiêu giây?
Bài 4
Một đoàn tàu dài 250m đi qua một cây cầu trong 1 phút 30 giây. Biết vận tốc của đoàn tàu là 45km/h. Hỏi cây cầu đó dài bao nhiêu mét?
Bài 5
Một đoàn tàu đi qua một cây cầu dài 800m với vận tốc 60km/h mất 1 phút 12 giây. Tính chiều dài của đoàn tàu.

Bài toán đoàn tàu qua hầm, qua cầu