CÁC BÀI TOÁN KINH ĐIỂN TRONG TOÁN CAO CẤP - TOÁN OLYMPIC?

Dưới đây là tổng hợp các bài toán kinh điển trong Toán cao cấp và Toán Olympic, được chia theo chủ đề, giúp bạn dễ tra cứu – đặc biệt hữu ích cho giảng dạy, luyện thi học sinh giỏi, Olympic sinh viên, hoặc nghiên cứu nâng cao.

---

🧠 I. TOÁN CAO CẤP – CÁC BÀI TOÁN KINH ĐIỂN

1. Giới hạn – Dãy – Chuỗi

• Bài toán Stolz–Cesàro kinh điển

• Giới hạn dãy có dạng:
  lim⁡n→∞n(a1a2…an^n−1)

• Tính giới hạn sử dụng bất đẳng thức Bernoulli, Cauchy, AM-GM

• Chuỗi hài hòa ngược:

  ∑n=1∞1n(n+1)=1

2. Hàm số – Liên tục – Vi phân

• Hàm Cantor – liên tục khắp nơi, đạo hàm không tồn tại

• Hàm Dirichlet – không liên tục ở mọi điểm

• Chứng minh không tồn tại hàm khả vi nào thỏa f′(x)=∣f(x)∣

• Bài toán liên quan đến định lý trung bình Cauchy và Rolle

3. Tích phân – Kỹ thuật tính khó

• Tích phân dạng đặc biệt:

• Dùng đổi biến khéo léo hoặc kỹ thuật Beta – Gamma

• Tích phân liên quan đến hàm đặc trưng Dirac delta (trong phân phối)

• Tích phân dạng Cauchy principal value (P.V)

4. Giải tích nhiều biến

• Cực trị có điều kiện – Phương pháp Lagrange

• Gradient và đường đi ngắn nhất

• Bài toán cực trị với hàm đối xứng nhiều biến

5. Đại số tuyến tính

• Tìm hạng của ma trận có cấu trúc (ma trận Vandermonde, Toeplitz)

• Định lý Cayley–Hamilton

• Ma trận khả nghịch có điều kiện đặc biệt

• Ma trận trực giao, đơn vị, Hermite, chuẩn hóa Gram-Schmidt

6. Giải tích phức

• Tính tích phân dạng

• Dùng định lý Cauchy – Residue

• Bài toán Liouville – mọi hàm giải tích bị chặn là hằng số

---

🏆 II. TOÁN OLYMPIC – CÁC BÀI TOÁN HUYỀN THOẠI

1. Bất đẳng thức

• Bất đẳng thức Nesbitt:

  a/b+c+b/c+a+c/a+b≥3/2​

• AM-GM mở rộng

• Bất đẳng thức Engel

• Kỹ thuật chuẩn hóa, đối xứng, biến đổi Titu's lemma

• Bài toán của Vasile Cirtoaje

2. Số học

• Bài toán IMO 1988: Chứng minh n^2 + n + 1không chia hết cho n2−n+1

• Định lý nhỏ Fermat, định lý Wilson

• Bài toán Euclid – tồn tại vô số số nguyên tố

• Phân tích số nguyên, hàm số Euler, modulo, đồng dư

3. Tổ hợp – Đếm – Xác suất

• Đếm chuỗi nhị phân không có 2 số 1 liên tiếp (Fibonacci)

• Bài toán xếp quân hậu – Domino – Bài toán Catalan

• Tổ hợp sinh – bao lặp – hoán vị vòng tròn

• Dãy Catalan, phương pháp quy nạp mạnh, đếm qua hàm sinh

4. Hình học

• Định lý Ceva, Menelaus, Miquel, Ptolomey

• Định lý Euler đường thẳng (tâm ngoại tiếp – trực tâm – trọng tâm)

• Tứ giác nội tiếp, điểm Miquel

• Hình học tổ hợp (IMO Shortlist)

• Tọa độ barycentric, hình học giải tích nâng cao

5. Hàm số rời rạc – Phương trình hàm

• Bài toán Cauchy: f(x+y)=f(x)+f(y) 

• Phương trình hàm với điều kiện đơn điệu, liên tục

• Phương pháp đặt ẩn phụ – biến đổi thông minh

• Bài IMO 2008: f(xf(y))+f(x)=f(x+y)

---

🧩 III. ĐẶC SẮC – "ĐỈNH CỦA CHÓP"

---

📚 GỢI Ý TÀI LIỆU THAM KHẢO

• Bài tập Giải tích – G. M. Fichtenholz (3 tập)

• Problem Solving Strategies – Arthur Engel (tổ hợp & số học cực mạnh)

• The IMO Compendium

• Tuyển tập các đề thi Olympic toán quốc tế (IMO)

• Bài toán chọn lọc từ tạp chí Crux Mathematicorum