Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu (x) = f(x) với mọi x ∈ K.
1, Nguyên hàm và tính chất
a. Định nghĩa
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R.
Cho hàm số f(x) xác định trên K.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.
b. Định lý
1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x)+C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.
2) Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C là một hằng số tùy ý.
Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số f(x) là ∫f(x)dx
Khi đó : ∫f(x)dx =F(x) + C , C ∈ R.
c. Tính chất của nguyên hàm
∫f(x)dx = F(x) + C, C ∈ R.
∫kf(x)dx =k ∫f(x)dx (với k là hằng số khác 0)
∫(f(x) ± g(x)) = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
d. Sự tồn tại nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp