Định lý Simson thường và Simson mở rộng

✅ 1. Định lý Simson thường (cổ điển)

📌 Phát biểu (cổ điển):

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Với một điểm $I$ nằm trên đường tròn (O), gọi:

• M,N,P là hình chiếu vuông góc từ $I$ lên các cạnh BC,CA,AB (hoặc là các đường thẳng chứa các cạnh đó).
  Khi đó, ba điểm M,N,P thẳng hàng.
  Đường thẳng này được gọi là đường thẳng Simson của điểm $I$ đối với tam giác ABC.

---

📌 Điều kiện áp dụng:

• Tam giác ABC nhọn (để các hình chiếu thuộc các đoạn thẳng).

• Điểm I∈(O), tức là nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

• Các đường chiếu được dựng vuông góc từ $I$ xuống các cạnh (hoặc đường thẳng chứa cạnh).

---

📌 Kết luận:

• Ba hình chiếu luôn thẳng hàng.

---

📌 Ví dụ quen thuộc:

Bài bạn đang làm ở trên là ví dụ điển hình của định lý Simson thường.

---

✅ 2. Định lý Simson mở rộng

📌 Mở rộng theo các hướng sau:

---

Hướng mở rộng 1: Không chỉ giới hạn 3 hình chiếu, mà xét 2 hình chiếu bất kỳ

Cho $)$, khi đó:
Hai hình chiếu từ I xuống các cạnh của tam giác (ví dụ BC, AC) luôn nằm trên đường thẳng Simson (tức là thẳng hàng với hình chiếu còn lại).
⇒ Điều này giúp ta chỉ cần 2 điểm để xác định đường Simson.

---

Hướng mở rộng 2: Định lý nghịch

Nếu có một điểm $I$ sao cho hình chiếu từ $I$ đến các cạnh của tam giác thẳng hàng, thì $I$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác.
⇨ Dùng để chứng minh một điểm thuộc đường tròn nếu ba hình chiếu vuông góc từ nó xuống các cạnh thẳng hàng.

---

Hướng mở rộng 3: Sử dụng các định lý liên quan

• Định lý góc định hướng: Góc giữa hai đoạn Simson của hai điểm nằm trên đường tròn bằng nửa số đo cung giữa chúng.

📌 Điểm đặc biệt trong Simson mở rộng:

• Có thể mở rộng cho tam giác tù nếu ta hiểu “cạnh” là đường thẳng chứa cạnh, chứ không chỉ đoạn thẳng.

• Trong trường hợp đó, hình chiếu vẫn được xác định hợp lý.

---

📊 So sánh tổng hợp: