Lý thuyết về chữ số tận cùng
📘 Lý thuyết về chữ số tận cùng trong Toán học
Chữ số tận cùng của một số là chữ số hàng đơn vị của số đó — tức là chữ số đứng cuối cùng trong biểu diễn thập phân của số.
💡 I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Chữ số tận cùng của một số nguyên
-
Là chữ số ở hàng đơn vị.
-
Ví dụ:
-
Số 145 có chữ số tận cùng là 5
-
Số 3207 có chữ số tận cùng là 7
-
2. Chữ số tận cùng của phép nhân
Muốn tìm chữ số tận cùng của một tích, chỉ cần xét chữ số tận cùng của các thừa số.
Ví dụ:
Tìm chữ số tận cùng của 13×47
→ Chữ số tận cùng của 13 là 3, của 47 là 7
→ Xét 3×7=21
→ Chữ số tận cùng là 1
3. Chữ số tận cùng của lũy thừa a^n
✔ Cách làm:
-
Xét quy luật chu kỳ chữ số tận cùng của các lũy thừa.
📌 Một số chu kỳ cần nhớ:
| Chữ số tận cùng của a | Chu kỳ chữ số tận cùng của a^n |
|---|---|
| 0 | luôn là 0 |
| 1 | luôn là 1 |
| 2 | 2, 4, 8, 6 (chu kỳ 4) |
| 3 | 3, 9, 7, 1 (chu kỳ 4) |
| 4 | 4, 6 (chu kỳ 2) |
| 5 | luôn là 5 |
| 6 | luôn là 6 |
| 7 | 7, 9, 3, 1 (chu kỳ 4) |
| 8 | 8, 4, 2, 6 (chu kỳ 4) |
| 9 | 9, 1 (chu kỳ 2) |
👉 Cách tìm:
-
Lấy số mũ chia cho độ dài chu kỳ, tìm vị trí tương ứng trong chu kỳ để xác định chữ số tận cùng.
Ví dụ:
Tìm chữ số tận cùng của 7^2025
-
Chu kỳ của 7 là: 7, 9, 3, 1 (độ dài 4)
-
2025÷4=506 dư 1
→ Chữ số tận cùng là số thứ 1 trong chu kỳ → 7
4. Chữ số tận cùng của tổng
-
Chỉ cần xét chữ số tận cùng của từng số hạng rồi cộng lại → lấy chữ số hàng đơn vị.
Ví dụ:
Tìm chữ số tận cùng của 12+27+43
→ Tận cùng: 2+7+3=12 chữ số tận cùng là 2
5. Chữ số tận cùng trong chia hết
-
Nếu một số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 → chia hết cho 5
-
Nếu chữ số tận cùng là số chẵn (0, 2, 4, 6, 8) → chia hết cho 2
-
Chữ số tận cùng kết hợp với số hàng chục → kiểm tra chia hết cho 4, 25...
🎯 II. ỨNG DỤNG TRONG BÀI TẬP
-
Tìm chữ số tận cùng của a^b
-
Tìm chữ số tận cùng của dãy số, tổng, tích
-
So sánh hai số theo chữ số tận cùng
-
Giải bài toán đếm hoặc tìm điều kiện để có chữ số tận cùng là 0, 2, 5, v.v.
