phương trình Pell như: x^2−Dy^2=1
được sử dụng thường xuyên trong các đề thi Học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia, và cả các kỳ thi quốc tế (IMO, APMOPS, Junior Balkan, v.v.).
📚 Vì sao phương trình Pell được đưa vào đề HSG?
1. Liên quan sâu đến số học cổ điển
-
Là dạng phương trình Diophantine nổi tiếng từ thời cổ Hy Lạp và Ấn Độ.
-
Có nghiệm nguyên nhưng không dễ tìm nếu không biết lý thuyết Pell.
2. Tạo bài toán nhiều tầng
-
Chỉ cần một phương trình như x^2−6y^2=1 , người ra đề có thể:
-
Yêu cầu tìm nghiệm nguyên.
-
Kết hợp điều kiện nguyên tố như đề của bạn.
-
Thêm yêu cầu về chính phương, chia hết, đồng dư, UCLN, v.v.
-
3. Rèn kỹ năng logic và biến đổi phức tạp
-
Học sinh phải:
-
Nhận diện dạng phương trình.
-
Áp dụng công thức nghiệm Pell (biểu thức nghiệm tổng quát).
-
Kết hợp với điều kiện "nguyên tố", "chính phương" → đòi hỏi phân tích tinh tế.
-
🏆 Các bài thi HSG thường gặp:
-
Cấp tỉnh, lớp 9–12: xuất hiện trong phần số học nâng cao
-
HSG Quốc gia THPT: có thể kết hợp với các bất đẳng thức hoặc bài toán tổ hợp.
-
Olympic quốc tế: bài toán có hình thức đơn giản như phương trình bậc 2 nhưng đòi hỏi kiến thức sâu.
📌 Tóm lại:
-
✅ Phương trình Pell là một “vũ khí” chuẩn trong đề thi học sinh giỏi toán.
-
🧠 Học sinh giỏi cần thuộc lòng nghiệm tổng quát của phương trình Pell và biết cách khai thác điều kiện thêm (như nguyên tố, chính phương, chia hết...).
