Đề Toán học sinh giỏi Hà Nội 2025 và đáp án chi tiết

Đề Toán học sinh giỏi Hà Nội 2025 và đáp án chi tiết

PHẦN I - Trả lời ngắn (12,0 điểm) Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 15. Với mỗi câu hỏi, thí sinh viết kết quả vào giấy thi.

Câu 1. Một chất điểm chuyển động trên trục $Ox$ có phương trình chuyển động là $x=2\cos (2\pi t)-1$ (đơn vị: $centimet$), với $t\ge 0$ (đơn vị: giây). Trong 5 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, chất điểm đi qua gốc tọa độ $O$ bao nhiêu lần?

Câu 2. Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị là đường cong như hình bên. Hàm số g(x)=f(x^3+1) đạt cực đại tại điểm x0​. Giá trị của x0​ bằng bao nhiêu?

Câu 3. Với x1​ và x2​ là các nghiệm của phương trình 3^(x−1=5^(x2−1). Giá trị của biểu thức S=x1​+x2​ bằng bao nhiêu?

Câu 4. Cho đa giác lồi có 10 đỉnh A1​,A2​,...,A10​. Có bao nhiêu tam giác có ba đỉnh là đỉnh của đa giác đã cho, trong đó không có hai đỉnh nào của tam giác là hai đỉnh kề nhau của đa giác?

Câu 5. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị là đường cong $(C)$ như hình bên. Biết rằng đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm $A(2;-1)$. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f^2(1−x) tại điểm có hoành độ $x=-1$ có hệ số góc bằng bao nhiêu?

Câu 6. Hình chữ nhật $ABCD$ được trang trí bởi một hình clip, các hình vuông cạnh 1 và các hình tròn đường kính 1 như hình vẽ. Diện tích của hình chữ nhật $ABCD$ bằng bao nhiêu?

Câu 7. Một công ty tham gia đấu thầu ba dự án $A,B,C$ độc lập với nhau. Xác suất trúng thầu các dự án $A,B,C$ lần lượt là $0,5;0,6$ và $x$. Xác suất để công ty trúng thầu ít nhất một dự án là $0,94$. Xác suất để công ty trúng thầu cả ba dự án bằng bao nhiêu?