Các kĩ thuật tư duy toán học mạnh trong logic -tổ hợp- biến đổi trạng thái

Đây là các kỹ thuật tư duy toán học rất mạnh trong các bài toán tư duy logic – tổ hợp – biến đổi trạng thái (rất hay ra trong các kỳ thi học sinh giỏi, toán quốc tế, hoặc để luyện não). Dưới đây là phần tóm tắt lý thuyết + ví dụ minh họa cụ thể từng dạng:

✅ 1. Nguyên lý bất biến (Invariant)

👉 Khái niệm:

Là kỹ thuật dựa vào việc tìm ra một đại lượng không thay đổi (bất biến) qua mỗi bước thực hiện thao tác.

Nếu sau mỗi thao tác, một tính chất (như: tổng, số lẻ, số cặp, khoảng cách…) không đổi, thì nếu trạng thái đích vi phạm tính bất biến đó ⇒ không thể đạt được.

📌 Ví dụ:

Có 100 đồng xu, ban đầu tất cả đều ngửa. Mỗi lượt bạn được lật đúng 3 đồng. Hỏi có thể nào sau một số lượt, tất cả đều sấp không?

🔎 Giải:

Gán mỗi mặt ngửa = 0, sấp = 1.
Tổng số đồng sấp ban đầu = 0.
Mỗi lượt lật 3 đồng → tổng số đồng sấp thay đổi ±1, ±3 → luôn thay đổi theo bội số của 1 hoặc 3.
Nhưng bắt đầu từ 0, sau mỗi bước tổng số sấp là số chia hết cho 3.
Đích là 100 sấp → 100 không chia hết cho 3 ❌ ⇒ Không đạt được.

→ Số đồng sấp mod 3 là bất biến!

✅ 2. Đếm modulo (modulo counting)

👉 Khái niệm:

Dùng toán chia dư (mod) để theo dõi tính chất chẵn – lẻ, hay chia hết của tổng, trạng thái..., rất thường dùng với mod 2, mod 3, mod 4, mod 12,...

📌 Ví dụ:

Có 15 bóng đèn đều tắt. Mỗi lượt chọn 3 bóng bất kỳ để đổi trạng thái (bật ↔ tắt). Có thể nào sau nhiều lượt, tất cả đều bật?

🔎 Giải:

Mỗi lần thay đổi 3 bóng → tổng số đèn sáng thay đổi ±1, ±3 → luôn thay đổi theo mod 2.
Ban đầu tổng sáng = 0 (mod 2).
Đích: 15 sáng → 15 ≡ 1 (mod 2)
Nhưng mọi bước thay đổi đều giữ tổng sáng chẵn → Không thể chạm đến 15 sáng (lẻ) ❌

→ Dùng mod 2 để xác định tổng sáng luôn chẵn, nên trạng thái đích lẻ là không thể đạt.

✅ 3. Tổng trạng thái (State sum)

👉 Khái niệm:

Gán một số đại diện cho trạng thái (0, 1, 2, …), sau đó theo dõi tổng giá trị các trạng thái sau mỗi bước biến đổi. Nếu quy luật tổng không thể đạt đích ⇒ loại trừ.

📌 Ví dụ:

Có 20 đồng hồ, mỗi cái chỉ 12h. Mỗi lượt chọn 5 đồng hồ, mỗi cái nhảy thêm 1 giờ. Có thể nào đưa tất cả về chỉ 6h không?

🔎 Giải:

Ban đầu: tổng giờ = 20 × 12 = 240.
Mỗi lượt tăng thêm 5 giờ → tổng giờ mỗi bước tăng +5.
Sau $n$ lượt, tổng giờ = 240 + 5n.

Muốn tất cả chỉ 6h → tổng giờ = 20 × 6 = 120
→ 240 + 5n = 120 ⇒ 5n = -120 ⇒ n âm ⇒ vô lý ❌

→ Không đạt được trạng thái đích vì tổng không thể giảm.

✅ 4. Kỹ thuật "không bao giờ chạm tới đích vì rào cản chẵn – lẻ – cấu trúc"

👉 Khái niệm:

Không phải bất biến hay tổng, mà là có một cấu trúc logic hoặc tính chất đối xứng – chẵn lẻ ngăn không cho trạng thái đích xảy ra.

Thường áp dụng khi:

Tổng có thể thay đổi.
Nhưng có kiểu cấu trúc không bao giờ có được dù thử thế nào đi nữa.

📌 Ví dụ:

Có 2025 đồng xu ngửa. Mỗi lượt chọn 10 đồng bất kỳ và lật. Có thể nào đưa tất cả về sấp không?

🔎 Giải:

Ban đầu: 0 đồng sấp (chẵn).
Mỗi lượt: lật 10 xu → số sấp thay đổi ±10 → luôn thay đổi chẵn.
Đích: 2025 đồng sấp → số lẻ ❌

→ Mỗi bước duy trì tính chẵn lẻ ⇒ không bao giờ chạm được đích lẻ.

✅ Tổng kết bảng so sánh:

Kỹ thuật	Cốt lõi	Khi nào dùng?	Ví dụ đặc trưng
Bất biến (invariant)	Một đại lượng không đổi	Có thao tác lặp nhưng đích trạng thái vi phạm bất biến	Lật 3 đồng mãi không được 100 sấp
Modulo	Đếm chia dư (mod 2, mod 3…)	Quan tâm chẵn lẻ hoặc chu kỳ	Bóng đèn, lật đèn sáng mod 2
Tổng trạng thái	Tổng các giá trị trạng thái	Theo dõi tăng/giảm tổng qua mỗi bước	Đồng hồ nhảy giờ
Cấu trúc – chẵn lẻ	Không thể chạm đích vì logic nội tại	Khi thấy đích không phù hợp cấu trúc	Bài 2025 đồng xu

Phân tích bài toán đồng xu (bài toán toán học tổ hợp – logic)

Đề bài tóm tắt:

Có 2025 đồng xu (số lẻ).
Ban đầu tất cả đều ngửa.
Mỗi lần chơi, lật đúng 10 đồng xu.
Câu hỏi: Sau 2026 lượt chơi, liệu có thể khiến tất cả 2025 đồng xu đều sấp không?

🚨 Bước 1: Nhận diện bản chất toán học

💡 Ý tưởng chính:

Mỗi đồng xu có 2 trạng thái:

0: ngửa
1: sấp

Việc lật một đồng xu chính là đổi trạng thái từ 0 ↔ 1.

Mỗi lượt chọn 10 đồng → tăng số đồng sấp thêm hoặc bớt 1–10 đơn vị, tùy trạng thái ban đầu của 10 đồng đó.

🔢 Bước 2: Xét tổng số đồng xu sấp sau mỗi lần chơi

Gọi số lượng đồng xu đang ở trạng thái sấp là $S$ .

💡 Lập nhận xét quan trọng:

Mỗi lần lật 10 đồng xu, thì số lượng đồng xu sấp thay đổi (tăng hoặc giảm) một số chẵn (vì mỗi lần lật sẽ thay đổi 1 trạng thái → ảnh hưởng 1 đơn vị).
Nhưng nếu ban đầu tất cả là ngửa (tức số sấp ban đầu $S_0 = 0$ ), thì:
- Mỗi lần lật 10 đồng, số đồng xu sấp thay đổi một số chẵn: vì nếu lật 10 đồng đang ngửa, thì ta được +10 sấp, tức chẵn.
- Nói cách khác, số đồng xu sấp sau mỗi lượt chơi luôn là số chẵn.

🚫 Bước 3: Kết luận logic dựa trên tính chẵn – lẻ

Ta có:

Ban đầu: 0 đồng sấp (chẵn).
Sau mỗi lượt chơi, số lượng đồng xu sấp thay đổi chẵn lần → tổng số đồng sấp luôn chẵn.
Nhưng cần đạt đích là: 2025 đồng sấp. → Là số lẻ ❗

🧠 => Mâu thuẫn:
Số sấp luôn chẵn, nhưng đích đến là số lẻ (2025) → KHÔNG THỂ xảy ra.

✅ Kết luận:

Không thể làm cho tất cả 2025 đồng xu đều sấp mặt sau dù sau 2026 lượt chơi, hay bất kỳ số lượt nào.

📌 Giải thích vì sao:

Ban đầu số đồng sấp là 0 (chẵn).
Mỗi lượt thay đổi 10 đồng, nên số đồng sấp luôn thay đổi chẵn lần → tổng số đồng sấp luôn chẵn.
Nhưng 2025 là số lẻ, nên không thể đạt được.

Bài toán tương tự

🧠 Bài 1 – Lật ô vuông

Trên bảng có 100 ô vuông, ban đầu đều màu trắng.
Mỗi lần bạn chọn một số chia hết cho 3 ô, và đổi màu (trắng ↔ đen) các ô đó.

Hỏi: Có thể nào sau một số lần thực hiện, tất cả ô đều chuyển thành màu đen không?

(Gợi ý: Dùng bất biến chẵn – lẻ, đếm mod 2.)

🔄 Bài 2 – Cú đấm đôi

Có 99 học sinh xếp thành một hàng ngang. Mỗi lượt, giáo viên gọi ra 2 em bất kỳ, và gõ đầu cả hai bạn đó cùng 1 lần. (Một cú gõ đổi trạng thái: chưa bị → bị gõ 1 lần, bị gõ 1 lần → 2 lần, v.v.)

Ban đầu tất cả học sinh chưa bị gõ lần nào.
Hỏi: Liệu sau một số lượt gõ, có thể làm cho chỉ có đúng 1 bạn bị gõ số lẻ lần, còn tất cả đều chẵn không?

⚖️ Bài 3 – Đổi bóng đèn

Có 2024 bóng đèn xếp thành vòng tròn. Mỗi bóng có 2 trạng thái: sáng hoặc tắt.

Mỗi lượt, bạn chọn một đoạn liên tiếp gồm 3 bóng đèn rồi đổi trạng thái của cả 3 bóng.

Ban đầu tất cả đều tắt.
Hỏi: Có thể nào sau một số lượt, tất cả bóng đều sáng không?

🎯 Bài 4 – Đồng hồ nhảy giờ

Có 20 đồng hồ điện tử, mỗi cái đang chỉ 12 giờ.
Mỗi lượt bạn chọn 5 đồng hồ, mỗi đồng hồ sẽ nhảy thêm 1 giờ (modulo 12, tức sau 12 là 1).

Hỏi: Có thể nào sau một số lượt thực hiện, tất cả 20 đồng hồ đều chỉ đúng 6 giờ không?

📌 Gợi ý chung:

Những bài này có thể giải bằng:

Nguyên lý bất biến (invariant).
Đếm modulo (mod 2, mod 3, mod 12…).
Tổng trạng thái (tổng số lần thay đổi).
Kỹ thuật "không bao giờ chạm tới đích vì rào cản chẵn – lẻ – cấu trúc."

Các kĩ thuật tư duy toán học mạnh trong logic -tổ hợp- biến đổi trạng thái