Bài tập Toán 6 nâng cao Dirichlet
Bài 1. Khối 6 của một trường THCS có 400 học sinh.
a) Chứng minh rằng có ít nhất 2 bạn có cùng ngày sinh;
b) Chứng minh rằng có ít nhất 34 bạn có cùng tháng sinh.
Bài 2. Chứng minh rằng trong ba số nguyên bất kì luôn tồn tại hai số có tổng chia hết cho 2.
Bài 3. Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra, không có ai bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học sinh được điểm 10. Chứng minh rằng luôn tìm được ít nhất 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (Biết điểm kiểm tra của mỗi học sinh là một số tự nhiên và nhỏ hơn hoặc bằng 10).
Bài 4. Chứng minh rằng trong 50 số tự nhiên bất kì luôn chọn ra được ít nhất 7 số mà hiệu hai số bất kì trong 7 số đó luôn chia hết cho 8.
Bài 5. Cho 12 số tự nhiên phân biệt có 2 chữ số. Chứng minh rằng trong 12 số đó có 2 số mà hiệu của chúng là số có 2 chữ số giống nhau.
Bài 6. Chứng minh rằng từ 27 số nguyên bất kì luôn có thể chọn ra hai số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 50.
Bài 7. Chứng minh rằng tồn tại số 383838...38 sau cho số đó chia hết cho 37
Bài 1.
a) Một nhóm học sinh gồm 15 bạn. Chứng minh rằng có ít nhất 2 bạn có cùng tháng sinh;
b) Một lớp học có 25 học sinh. Chứng minh rằng có ít nhất 3 bạn có cùng tháng sinh.
Bài 2.
a) Chứng minh rằng trong 10 số tự nhiên bất kì bao giờ cũng có thể chọn ra hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 9;
b) Trong n+1 số nguyên, chứng minh rằng luôn tồn tại hai số có hiệu chia hết cho n.
Bài 3. Lớp 6A1 có 31 học sinh. Biết rằng điểm kiểm tra tháng môn Toán cao nhất của lớp là 10 điểm, thấp nhất là 5 điểm và điểm của tất cả các học sinh đều là số tự nhiên. Chứng minh rằng trong lớp tồn tại ít nhất 6 bạn có điểm bằng nhau.
Bài 4. Cho a, a+m, a+2m là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng m chia hết cho 3.
Bài 5. Chứng minh rằng trong 52 số tự nhiên bất kì, luôn tồn tại 2 số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 100.
Bài 1.
a) Một nhóm học sinh gồm 15 bạn. Chứng minh rằng có ít nhất 2 bạn có cùng tháng sinh;
b) Một lớp học có 25 học sinh. Chứng minh rằng có ít nhất 3 bạn có cùng tháng sinh.
Bài 2.
a) Chứng minh rằng trong 10 số tự nhiên bất kì bao giờ cũng có thể chọn ra hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 9;
b) Trong n+1 số nguyên, chứng minh rằng luôn tồn tại hai số có hiệu chia hết cho n.
Bài 3. Lớp 6A1 có 31 học sinh. Biết rằng điểm kiểm tra tháng môn Toán cao nhất của lớp là 10 điểm, thấp nhất là 5 điểm và điểm của tất cả các học sinh đều là số tự nhiên. Chứng minh rằng trong lớp tồn tại ít nhất 6 bạn có điểm bằng nhau.
Bài 4. Cho a, a+m, a+2m là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng $m$ chia hết cho 3.
Bài 5. Chứng minh rằng trong 52 số tự nhiên bất kì, luôn tồn tại 2 số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 100.
Bài 6. Ở một vòng chung kết cờ vua có 8 đấu thủ tham gia. Mỗi đấu thủ đều phải gặp đủ 7 đấu thủ còn lại, mỗi người một trận. Chứng minh rằng, trong mọi thời điểm giữa các cuộc đấu, bao giờ cũng có hai đấu thủ đã đấu1 một số trận như nhau.
Bài 7. Chứng minh rằng luôn tìm được số có dạng {20252025...2025}{chia hết cho 61}
Bài 8. Trong một bảng ô vuông 3X3, người ta viết vào mỗi ô vuông chỉ một trong ba số $1; 0; -1$. Xét các tổng của 3 số theo mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo. Chứng minh rằng phải có ít nhất hai tổng có giá trị bằng nhau.
