Bài toán Chu trình Euler và đường đi Euler?

Bài toán Chu trình Euler và đường đi Euler?

Bài toán bạn đang làm chính là một bài toán Chu trình Euler – hay cụ thể hơn, là biến thể người đưa thư (Chinese Postman Problem) – trong đồ thị.

---

🔍 Tóm tắt bài toán Chu trình Euler:

💡 Chu trình Euler là gì?

• Là một đường đi trong đồ thị vô hướng hoặc có hướng, đi qua mỗi cạnh đúng 1 lần, và bắt đầu – kết thúc tại cùng 1 đỉnh.

---

✅ Điều kiện tồn tại chu trình Euler (trong đồ thị vô hướng):

• Tất cả các đỉnh đều có bậc chẵn.

Nếu:

• Có 0 đỉnh bậc lẻ → Tồn tại chu trình Euler (đi rồi quay về điểm xuất phát)

• Có 2 đỉnh bậc lẻ → Tồn tại đường đi Euler (bắt đầu ở một đỉnh lẻ, kết thúc ở đỉnh lẻ còn lại)

• Có hơn 2 đỉnh bậc lẻ → Không tồn tại chu trình hoặc đường đi Euler

---

📌 Bài toán của bạn:

• Người đưa thư phải đi qua mỗi cạnh ít nhất một lần, bắt đầu và kết thúc tại cùng 1 điểm → chính là Chu trình Euler

• Nhưng đồ thị có 2 đỉnh bậc lẻ (A và D) → Không tồn tại chu trình Euler ngay

• → Phải thêm cạnh nối A–D bằng đường ngắn nhất để tạo chu trình

---

🔧 Biến thể mở rộng: Bài toán người đưa thư Trung Hoa

Là bài toán tối ưu hóa tổng quãng đường cần đi để đi qua tất cả các cạnh ít nhất một lần và quay về chỗ cũ, kể cả khi đồ thị không có chu trình Euler sẵn.

Cách giải:

1. Tính tổng độ dài các cạnh ban đầu

2. Xác định các đỉnh bậc lẻ

3. Ghép các đỉnh bậc lẻ thành từng cặp sao cho tổng đường ngắn nhất giữa các cặp là nhỏ nhất

4. Cộng phần đường đi thêm đó vào tổng ban đầu → ra đáp án

 

Trong lý thuyết đồ thị, một đường đi trong đồ thị G = (X, E) được gọi là đường đi Euler nếu nó đi qua tất cả các cạnh của đồ thị, mỗi cạnh đúng một lần.

Đường đi Euler có đỉnh cuối cùng trùng với đỉnh xuất phát gọi là chu trình Euler.

Khái niệm chu trình Euler xuất phát từ bài toán bảy cây cầu do Euler giải quyết vào khoảng năm 1737. Đường đi Euler có thể tìm thấy trong các bài toán vui vẽ một nét (vẽ một hình nào đó mà không nhấc bút khỏi mặt giấy, không tô lại cạnh nào hai lần).

Carl Hierholzer là người đầu tiên mô tả hoàn chỉnh đồ thị Euler vào năm 1873, bằng cách chứng minh rằng đồ thi Euler là đồ thị liên thông không có đỉnh bậc lẻ.

 

🔍 1. Chu trình Euler là gì?

• Là một đường đi đi qua mọi cạnh đúng 1 lần

• Bắt đầu và kết thúc tại cùng 1 đỉnh

✅ Ví dụ:

---

🔍 2. Đường đi Euler là gì?

• Cũng là một đường đi qua mọi cạnh đúng 1 lần

• Bắt đầu và kết thúc tại 2 đỉnh khác nhau

✅ Ví dụ:

---

🧠 So sánh nhanh:

---

🧩 Ứng dụng:

• Chu trình Euler: Các bài toán vòng tròn, đưa thư, đi tuần, vẽ một nét về chỗ cũ

• Đường đi Euler: Đi hết mà không cần quay về