Bài toán nâng cao hơn về thể tích phần giao giữa hai hình cầu có bán kính khác nhau và không đối xứng
Dưới đây là một bài toán nâng cao hơn về thể tích phần giao giữa hai hình cầu có bán kính khác nhau và không đối xứng, phù hợp cho học sinh khá giỏi hoặc luyện thi học sinh giỏi – có cả hướng dẫn giải chi tiết nhé:
📘 Bài toán nâng cao:
Hai hình cầu có:
-
Bán kính: R1=7 cm;
-
Khoảng cách giữa hai tâm: d=8 cm
Tính thể tích phần giao nhau của hai hình cầu (gọi là thấu kính cầu bất đối xứng).
🧠 Phân tích và công thức tổng quát
Phần giao nhau gồm hai nắp cầu (spherical caps), mỗi nắp thuộc một hình cầu.
✅ Gọi:
-
h1: chiều cao nắp của hình cầu lớn
-
h2 chiều cao nắp của hình cầu nhỏ
-
: khoảng cách giữa tâm 2 hình cầu
🔷 Tính chiều cao nắp cầu:
Dùng định lý Pytago:
h1=(R1^2−R2^2+d^2)/ 2d;h2=d−h1
Thay số:
h1=7^2−5^2+8^2)/2⋅8=49−25+64/16=88/16=5.5 cm⇒h2=8−5.5=2.5 cm
🔢 Công thức thể tích nắp cầu:
V=πh^2/3(3R−h)
🔹 Tính thể tích 2 nắp:
Nắp 1 (thuộc cầu bán kính 7):
V1=π⋅5.5^2/3(3⋅7−5.5)=π⋅30.25/3(21−5.5)=30.25⋅15.5⋅π3≈156.29 π
Nắp 2 (thuộc cầu bán kính 5):
V2=π⋅2.5^2/3(3⋅5−2.5)=π⋅6.25/3(15−2.5)=6.25⋅12.5⋅π3≈26.04 π
✴️ Tổng thể tích phần giao nhau:
V=V1+V2≈(156.29+26.04)π≈182.33π≈572.72 cm3
