Đề Thi Giữa Kì 1 Toán 9 2026–2027 Có Đáp Án & Biểu Điểm Mới

• Bài I (2,5 điểm):
- Ý 1 (0,75đ): Từ PT (2) ⇒ y = 5 − 3x (0,25đ). Thế vào (1): 5x + 3(5 − 3x) = 11 ⇔ −4x = −4 ⇔ x = 1 ⇒ y = 2 (0,25đ). Kết luận nghiệm (x; y) = (1; 2) (0,25đ).
- Ý 2 (1,0đ): ĐKXĐ: x ≠ 3; x ≠ −3 (0,25đ). Quy đồng khử mẫu: 2(x + 3) + (x − 3) = x² + 3 ⇔ x² − 3x = 0 ⇔ x(x − 3) = 0 (0,25đ) ⇒ x = 0 (tm) hoặc x = 3 (loại) (0,25đ). Kết luận S = {0} (0,25đ).
- Ý 3 (0,75đ): Nhân hai vế với 6 > 0: 2(x + 2) − 6 ≥ 12x + 3(x − 1) (0,25đ) ⇔ −13x ≥ −1 (0,25đ) ⇔ x ≤ 113 (0,25đ).

• Bài II (3,0 điểm):
- Ý 1 (1,5đ): Gọi thời gian người 1, người 2 làm một mình xong công việc lần lượt là x, y (ngày; x, y > 6) (0,25đ). Mỗi ngày hai người làm được 1x và 1y công việc (0,25đ). Lập hệ PT: 1x + 1y = 16 (0,25đ) và 10x + 2·(1x + 1y) = 1 (0,25đ). Giải hệ được x = 15, y = 10 (thỏa mãn) và kết luận: người thứ nhất 15 ngày, người thứ hai 10 ngày (0,5đ).
- Ý 2 (1,5đ): Gọi quãng đường đi được là x (km, x > 1). Tổng cước phí: 20 + 14(x − 1) ≤ 500 (0,75đ) ⇔ x ≤ 2477 ≈ 35,29. Vậy hành khách đi được tối đa 35 km (0,75đ).

• Bài III (1,0 điểm):
- Ý 1 (0,5đ): Trong △ABH vuông tại H: BH = AB · sin 8° = 4,8 · sin 8° ≈ 0,668 km ≈ 668 mét.
- Ý 2 (0,5đ): Tổng thời gian lên và xuống dốc: t = 4,812 + 4,825 = 0,4 + 0,192 = 0,592 giờ = 35,52 phút < 40 phút (từ 6h30 đến 7h10). Vậy bạn An về đến A kịp trước 7h10.

• Bài IV (3,0 điểm):
- Ý 1 (1,0đ): Gọi O là trung điểm BC. Chỉ ra △ABC vuông tại A và △BMC vuông tại M có trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên OA = OM = OB = OC = BC2 ⇒ A, M, C, B cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
- Ý 2 (1,5đ): Chứng minh △HBA ∽ △ABC (g.g) ⇒ BA² = BH·BC (0,5đ); chứng minh △BHI ∽ △BMC (g.g) ⇒ BH·BC = BI·BM (0,5đ). Tia phân giác BK ⇒ AKCK = ABBC = sin ACB ⇒ AK = CK · sin ACB (0,5đ).
- Ý 3 (0,5đ): Gọi F = AJ ∩ BC. Xét △FAB có AH ⊥ BF, BI ⊥ AF ⇒ I là trực tâm △FAB ⇒ FI ⊥ AB ⇒ FI ∥ AC. Theo định lí Thalès trong △HAC: HIIA = HFFC. Mặt khác FJ ∥ MC (cùng ⊥ BI), theo định lí Thalès trong △HMC: HJJM = HFFC. Suy ra HIIA = HJJM ⇒ IJ ∥ AM (Thalès đảo).

• Bài V (0,5 điểm – Câu phân loại điểm 10):
Gọi số xe loại A, B cần thuê là x, y ∈ ℕ. Điều kiện chở người và hàng: 4x + 2y ≥ 28 ⇔ 2x + y ≥ 14 và 1,2x + 3y ≥ 18 ⇔ 2x + 5y ≥ 30 (0,25đ).
Chi phí thuê xe: S = 6x + 4,5y = 38(2x + 5y) + 218(2x + y) ≥ 38·30 + 218·14 = 48 (triệu đồng). Dấu “=” xảy ra khi 2x + 5y = 30 và 2x + y = 14 ⇔ x = 5; y = 4 (thỏa mãn). Vậy cần thuê 5 xe loại A và 4 xe loại B (0,25đ).

• Bài 1 (3,0 điểm):
1) (x; y) = (1; −1).  |  2) S = {−2; 45}.  |  3) ĐKXĐ: x ≠ 0, x ≠ 5; khử mẫu được x² − (x² − 4x − 5) = 7x + 2 ⇔ 4x + 5 = 7x + 2 ⇔ x = 1 (tm), S = {1}.  |  4) 2x − 5 + 3x < 9x + 3 ⇔ −4x < 8 ⇔ x > −2.

• Bài 2 (3,0 điểm):
- Ý 1: Gọi số áo dự định may mỗi ngày là x (x ∈ ℕ*). Phương trình: 720x − 720x + 30 = 4 ⇒ x² + 30x − 5400 = 0. Tách đưa về phương trình tích: (x − 60)(x + 90) = 0 ⇒ x = 60 (tm). Vậy theo kế hoạch mỗi ngày xưởng may 60 chiếc áo.
- Ý 2: Gọi giá niêm yết của áo khoác và đôi giày là x, y (nghìn đồng; 0 < x, y < 520). Hệ PT: {x + y = 5200,85x + 0,8y = 432 ⇔ x = 320 và y = 200 (nghìn đồng).

• Bài 3 (3,5 điểm):
- Ý 1: Chiều cao cột đèn: 6 · tan 40° ≈ 5,03 m.
- Ý 2a: △AED ∽ △ADB (g.g) ⇒ AE·AB = AD².
- Ý 2b: Tương tự AF·AC = AD² = AE·AB ⇒ AEAC = AFAB, kết hợp BAC chung ⇒ △AEF ∽ △ACB (c.g.c). Để chứng minh ID² = IE·IF không dùng tứ giác nội tiếp: Ta có IDE = BDE = 90° − ABC (△BDE vuông tại E) và IFD = EFD = 90° − AFE = 90° − ABC ⇒ IDE = IFD ⇒ △IDE ∽ △IFD (g.g) ⇒ ID² = IE·IF.
- Ý 2c: Gọi M = BH ∩ AC ⇒ BM ⊥ AC. Dễ thấy AHM = ACB ⇒ BHA = 180° − ACB = BEK. Suy ra △BEK ∽ △BHA (g.g) ⇒ BK·BH = BE·BA. Mà △BDE ∽ △BAD (g.g) ⇒ BE·BA = BD². Do đó BK·BH = BD² ⇒ △BKD ∽ △BDH (c.g.c) ⇒ BKD = BDH = 90° ⇒ DK ⊥ BH.

• Bài 5 (0,5 điểm): Gọi cạnh vuông góc bức tường là x (m, 0 < x < 50), cạnh song song tường là 100 − 2x (m). Diện tích: S = x(100 − 2x) = −2(x − 25)² + 1250 ≤ 1250 m². Vậy S_max = 1250 m² khi x = 25 m.