Đề toán lớp 11,12 kì thi toán quốc tế IMOCSEA

Một cân thăng bằng được dùng để cân một vật và các quả cân có thể đặt ở cả hai bên. Hiện tại chỉ có ba quả cân khác nhau, mỗi loại một cái: 3 gram, 5 gram và 7 gram. Hỏi có bao nhiêu vật có trọng lượng khác nhau có thể cân được trên chiếc cân này?
Mario thực hành tính nhẩm bằng cách cộng các lập phương của các số đếm (số nguyên dương). Anh ấy bắt đầu từ $1$ theo thứ tự của các số nguyên dương khác không. Khi cộng đến một số nhất định, tổng là $2900$, nhưng anh ấy phát hiện ra rằng một lập phương của một số bị thiếu khi thực hiện phép cộng. Hỏi số lập phương nào mà Mario đã không tính trong phép tính nhẩm?

Sau khi thay đổi thứ tự của các chữ số và sắp xếp lại, một số số có bốn chữ số mới có thể được tạo thành. Có một số có bốn chữ số là M và bốn chữ số của nó là khác nhau, và không có chữ số nào là 0. Biết rằng M nhỏ hơn số lớn nhất trong số các số có bốn chữ số mới là 7875 và lớn hơn số nhỏ nhất trong số các số có bốn chữ số mới là 297. Hãy tìm số có bốn chữ số này.

KHUNG CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10-11-12

Các Cấp Độ Trung Học (Secondary Levels)

Lý thuyết Số (Number Theory) – Số học & Nhận biết số (Number Sense); Số thực (Real Numbers); Phân số phức vô hạn (Infinite Complex Fractions); Tính chia hết (Divisibility); Tỷ lệ, Tỷ lệ thức và Biến thiên (Ratio, Proportion and Variations); Chỉ số và Căn thức (Indices and Radicals); Cơ số khác 10 (Bases other than 10); Số học Mô-đun (Modular Arithmetic); Phương trình Diophantine và Thuật toán Euclidean (Diophantine Equation and Euclidean Algorithm); Định lý Fermat (Fermat's Theorem); Tổng các ước số (Sums of Divisors); Hàm $\Phi$ ; Định lý Wilson (Wilson's Theorem); Phương trình Pell (The Pell Equation); và Các Phương pháp chung (General Methods).
Phân tích Logic (Logical Analysis) – Quy nạp Toán học (Mathematical Induction); Chuỗi Vô hạn (Infinite Series); Cấp số (Dãy số & Chuỗi) (Progressions (Sequences & Series)); Phép tính Tổng (Summation); Lý thuyết Tập hợp (Set Theory); Lý thuyết Mô hình (Model Theory); và Lý thuyết Đệ quy và Xử lý Dữ liệu (Recursion Theory and Data Handling).
Đại số (Algebra) – Chỉ số và Căn thức (Indices and Radicals); Phân tích thừa số và Phép toán (Factorization and Manipulations); Đa thức (Polynomials); Hàm số (Phép biến đổi và Nghịch đảo) (Functions (Transformation and Inversion)); Hàm số Tuyến tính và Bậc hai (Linear & Quadratic Functions); Hệ phương trình Tuyến tính và Bậc hai (Systems of Linear & Quadratic Equations); Bất đẳng thức Giá trị tuyệt đối (Absolute Value Inequalities); Bất đẳng thức Tầm thường (Trivial Inequality); Bất đẳng thức Tuyến tính và Bậc hai (Linear & Quadratic Inequalities); Định lý Nhị thức (Binomial Theorem); Định lý Số dư (Remainder Theorem); Biểu thức Hữu tỉ (Rational Expressions); Hàm số Mũ và Logarit (Exponential and Logarithmic Functions).
Hình học (Geometry) – Hình phẳng (Chu vi, Diện tích) (Plane Figures (Perimeters, Areas)); Hình học Giải tích (Tọa độ, Khoảng cách, Độ dốc, Đường tròn & Đường Conic) (Analytic Geometry (Coordinates, Distance, Slopes, Circles & Conics)); Hình học Ba chiều (Khối lập phương, Khối hộp, Hình trụ, Hình cầu, Hình lăng trụ, Hình nón, Hình chóp, và Khối đa diện) (Three Dimensional Geometry (Cubes, Boxes, Cylinders, Spheres, Prisms, Cones, Pyramids, and Polyhedron)); Phép biến hình (Tịnh tiến, Quay, Lật, Kéo dãn, Co lại) (Translations (Shifts, Turns, Flips, Stretches, Squeezes)); Tam giác (Góc và Hàm lượng giác) (Triangles (Angles and Trigonometric Functions)) và Sự đồng dạng & Đồng nhất của Tam giác (Triangle Similarities & Congruencies); và Tứ giác và Đa giác (Quadrilaterals and Polygons).
Tổ hợp (Combinatorics) – Đồng nhất thức (Identities); Đồng nhất thức Pascal (Pascal's Identity); Đếm và Xác suất (Đếm Xây dựng, Tương ứng 1-1) (Counting and Probability (Constructive Counting, 1-1 Correspondence)); Nguyên lý Chuồng bồ câu (Pigeonhole Principle); Số Fibonacci (Fibonacci Numbers); Đệ quy (Recursion); Hoán vị (Permutation); Tổ hợp (Combination); Kỳ vọng và Xác suất có điều kiện (Expectation and Conditional Probability).