Đề thi cuối kì 1 Toán 8 – các bài nâng cao hay gặp (có đáp số)

Câu vận dụng – vận dụng cao cuối đề quyết định các em được điểm 8 hay điểm 10. Dưới đây là 7 dạng bài nâng cao thường gặp trong đề thi cuối học kì 1 Toán 8 (hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử, GTNN – GTLN, tứ giác và định lí Thalès). Mỗi dạng có 1 bài trích từ đề thi thật của các trường, kèm đáp số để các em tự kiểm tra.

Cách luyện hiệu quả: tự làm ít nhất 15 phút rồi mới xem đáp số.

Dạng 1. Hằng đẳng thức và giá trị của biểu thức

Bài 1.

Cho x+\dfrac{1}{x}=3 (x\ne 0), tính x^6+\dfrac{1}{x^6}.

(Nguồn: Đề cuối học kì 1 Toán 8 năm học 2024 – 2025, trường THCS Đồng Khởi – TP HCM)

Mẹo:

Đặt a=x, b=\dfrac{1}{x} thì ab=1, nên mọi biểu thức đối xứng a^k+b^k đều tính được qua a+b nhờ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab và a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b).

Dạng 2. Phân thức đại số và biểu thức có điều kiện

Bài 2.

Cho hai số thực dương m, n thoả mãn m<n và 3m^2+2n^2=5mn.

Tính giá trị của biểu thức A=\dfrac{n+2m}{n-2m}+2032.

(Nguồn: Đề cuối học kì 1 Toán 8 năm học 2024 – 2025, phòng GD&ĐT Lập Thạch – Vĩnh Phúc)

Mẹo:

Điều kiện thuần nhất bậc hai 3m^2-5mn+2n^2=0 luôn phân tích được thành tích hai nhân tử bậc nhất, từ đó suy ra tỉ số \dfrac{n}{m}.

Dạng 3. Phân tích đa thức thành nhân tử – số nguyên, chia hết

Bài 3.

Chứng minh rằng: \left(2^9-1\right)\ \vdots\ 73.

(Nguồn: Đề cuối học kì 1 Toán 8 năm học 2025 – 2026, trường THCS An Điền – TP HCM)

Mẹo:

Viết số mũ 9=3\cdot 3 để dùng hằng đẳng thức; cũng từ đó suy ra \left(2^9-1\right)\ \vdots\ 7.

Dạng 4. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất

Bài 4.

Tìm GTNN của biểu thức sau: A=2x^2+y^2+2xy+2x-2y+2029.

(Nguồn: Đề cuối học kì 1 Toán 8 năm học 2024 – 2025, phòng GD&ĐT Kinh Môn – Hải Dương)

Mẹo:

Với đa thức bậc hai hai biến, coi là tam thức theo một biến (ở đây là y) để tạo bình phương thứ nhất, phần còn lại chỉ chứa x.

Dạng 5. Bài toán thực tế

Bài 5.

Một cột cờ được đặt vuông góc với mặt đất. Tại cùng một thời điểm, nếu nâng cột cờ lên cao thêm 1 m thì bóng của nó dài gấp \dfrac{9}{8} lần so với bóng cột cờ lúc ban đầu. Tính chiều cao ban đầu của cột cờ trước khi nâng.

(Nguồn: Đề cuối học kì 1 Toán 8 năm học 2024 – 2025, trường THCS Lý Tự Trọng – Quảng Nam)

Mẹo:

Bài toán bóng nắng: tia nắng song song nên dùng định lí Thalès trong tam giác có chung đỉnh O (chân cột). Tỉ số bóng bằng tỉ số chiều cao.

Dạng 6. Hình học: trung điểm, đường trung bình, tỉ số độ dài

Bài 6.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Kẻ MH vuông góc với cạnh AB tại H, kẻ MK vuông góc với cạnh AC tại K.

a) Chứng minh: Tứ giác AHMK là hình chữ nhật.

b) Gọi E là trung điểm đoạn MC. Gọi F là điểm đối xứng với A qua E. Chứng minh: Tứ giác AMFC là hình bình hành.

c) Gọi O là giao điểm của HC và AM. Chứng minh: MO=\dfrac{BC}{6}.

(Nguồn: Đề cuối học kì 1 Toán 8 năm học 2025 – 2026, trường THPT Lương Thế Vinh – TP HCM)

Mẹo:

Then chốt: nhận ra H là trung điểm AB (đường thẳng qua trung điểm một cạnh, song song cạnh thứ hai) để thấy O là trọng tâm.

Dạng 7. Hình học: chứng minh vuông góc, tia phân giác

Bài 7.

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB>AC), đường trung tuyến AM. Từ M kẻ ME\perp AB, MK\perp AC (E\in AB, K\in AC).

a) Chứng minh tứ giác AEMK là hình chữ nhật.

b) Tính độ dài đoạn thẳng AM biết AB=8 cm, AC=6 cm.

c) Kẻ AH\perp BC (H\in BC). Chứng minh EH\perp KH.

(Nguồn: Đề cuối học kì 1 Toán 8 năm học 2025 – 2026, sở GD&ĐT Bắc Ninh)

Mẹo:

Ý c) dùng chiều ngược: "tam giác có đường trung tuyến bằng nửa cạnh tương ứng thì là tam giác vuông". Điểm O (tâm hình chữ nhật) cách đều A, M, E, K và cả H.

Muốn luyện đủ 30 bài có lời giải chi tiết?

Cuốn “30 bài toán nâng cao – Ôn thi cuối học kì 1 – Toán 8” của Thầy Thế Anh có đủ 30 bài chọn lọc từ đề thi thật của các trường. Bài được chia theo dạng và có mức độ ★. Mỗi bài có lời giải từng bước, hình vẽ và nhận xét.

Nhận miễn phí bản đọc thử 6 bài (nhắn Zalo 0986 683 218: “ĐỌC THỬ 8”) hoặc mua bản đầy đủ, mã sách T8HK1.