Đề thi cuối kì 1 Toán 9 – các bài nâng cao hay gặp (có đáp số)

Câu vận dụng – vận dụng cao cuối đề quyết định các em được điểm 8 hay điểm 10. Dưới đây là 7 dạng bài nâng cao thường gặp trong đề thi cuối học kì 1 Toán 9 (rút gọn biểu thức chứa căn, hệ phương trình, bất đẳng thức và đường tròn). Mỗi dạng có 1 bài trích từ đề thi thật của các trường, kèm đáp số để các em tự kiểm tra.

Cách luyện hiệu quả: tự làm ít nhất 15 phút rồi mới xem đáp số.

Dạng 1. Rút gọn biểu thức chứa căn và bài toán phụ

Bài 1.

Cho hai biểu thức A=\dfrac{x+3}{x-9}+\dfrac{2}{\sqrt{x}+3} và B=\dfrac{1}{\sqrt{x}-3} (với x\ge 0;\ x\ne 9).

a) Tính giá trị biểu thức B khi x=25.

b) Rút gọn biểu thức P=A-B.

c) Tìm số tự nhiên x lớn nhất để P\le \dfrac{1}{3}.

(Nguồn: Đề cuối học kì 1 Toán 9 năm học 2024 – 2025, phòng GD&ĐT Chương Mỹ – Hà Nội)

Mẹo:

Khi giải bất phương trình chứa phân thức, không được nhân chéo vì chưa biết dấu của mẫu. Hãy chuyển vế về dạng \dfrac{\text{tử}}{\text{mẫu}}\le 0 rồi xét dấu.

Dạng 2. Phương trình đặc biệt và biến đổi căn thức

Bài 2.

Giải phương trình: 7x^2+y^2+4xy-24x-6y+21=0.

(Nguồn: Đề cuối học kì 1 Toán 9 năm học 2024 – 2025, phòng GD&ĐT Chương Mỹ – Hà Nội)

Mẹo:

Phương trình hai ẩn mà chỉ có một phương trình thường giải bằng cách đưa về tổng các bình phương bằng 0. Mẹo: gom hết các hạng tử chứa y vào một bình phương \left(y+2x+c\right)^2, phần còn lại chỉ chứa x.

Dạng 3. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, bất phương trình

Bài 3.

Trong chuyến du lịch Phan Thiết của công ty B, công ty đã thuê 2 xe ô tô để có thể chở hết số nhân viên đã đăng ký tham gia. Biết tổng số chỗ ngồi của hai xe là 40 chỗ. Tuy nhiên tới ngày đi thì có một số người không tham gia được, nên xe thứ nhất chỉ có 22 người và xe thứ hai chỉ có 10 người. Nếu chuyển từ xe thứ nhất sang xe thứ hai cho đầy thì những người còn lại trên xe thứ nhất ngồi hết \dfrac{2}{3} số ghế trên xe. Hỏi mỗi xe do công ty B đã thuê có bao nhiêu chỗ ngồi? Biết mỗi người ngồi một ghế và không tính ghế tài xế.

(Nguồn: Đề cuối học kì 1 Toán 9 năm học 2024 – 2025, trường THCS Đồng Khởi – TP Hồ Chí Minh)

Mẹo:

Mấu chốt là diễn đạt "chuyển sang cho đầy": số người chuyển đi bằng số ghế trống của xe thứ hai, tức y-10.

Dạng 4. Bài toán tối ưu trong thực tế

Bài 4.

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy móc có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ (người này sẽ giám sát tất cả các máy hoạt động). Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí sản xuất là thấp nhất?

(Nguồn: Đề cuối học kì 1 Toán 9 năm học 2024 – 2025, trường THCS Phan Đình Giót – Hà Nội)

Mẹo:

Dạng "chi phí cố định theo số máy + chi phí theo thời gian" luôn dẫn tới an+\dfrac{b}{n}, dùng Cauchy. Nhớ kiểm tra giá trị n đạt dấu "=" là số nguyên dương.

Dạng 5. Bất đẳng thức – Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Bài 5.

Cho x là số thực thỏa 0<x\le \dfrac{1}{4}. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x+\dfrac{1}{x}.

(Nguồn: Đề cuối học kì 1 Toán 9 năm học 2024 – 2025, phòng GD&ĐT Châu Đức – Bà Rịa – Vũng Tàu)

Mẹo:

Lỗi kinh điển: viết x+\dfrac{1}{x}\ge 2 — đúng nhưng dấu "=" ở x=1 không thuộc miền 0<x\le \dfrac{1}{4}. Phải dự đoán điểm rơi x=\dfrac{1}{4} rồi tách \dfrac{1}{x} sao cho hai số trong Cauchy bằng nhau tại đó.

Dạng 6. Hình học: hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 6.

Cho đường tròn \left(O;R\right). Từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh các điểm A, B, C, O cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh OA\perp BC và OH.OA=R^2.

c) Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng OA với đường tròn \left(O;R\right). Chứng minh OA.IH=OB.IA.

(Nguồn: Đề cuối học kì 1 Toán 9 năm học 2025 – 2026, trường THCS Ngô Gia Tự – Hà Nội)

Mẹo:

Đẳng thức dạng tích hai đoạn thẳng thường là "tỉ số đường phân giác" trá hình. Kết quả đáng nhớ: giao điểm I của OA với đường tròn là chân đường phân giác của góc ABH (cũng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC).

Dạng 7. Hình học: đường kính và tiếp tuyến

Bài 7.

Cho nửa đường tròn \left(O\right), đường kính AB. Trên nửa đường tròn \left(O\right) lấy một điểm D (D khác A và B). Tiếp tuyến của nửa đường tròn \left(O\right) tại A và D cắt nhau ở điểm C. Gọi F là hình chiếu của D trên đoạn thẳng AB. Tia BC cắt nửa đường tròn \left(O\right) tại E.

a) Chứng minh \Delta AEB vuông.

b) Chứng minh CE.CB=CA^2 và \widehat{CDE}=\widehat{CBD}.

c) Gọi I là trung điểm của DF. Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng.

(Nguồn: Đề cuối học kì 1 Toán 9 năm học 2024 – 2025, phòng GD&ĐT Thanh Trì – Hà Nội)

Mẹo:

Kỹ thuật "trung tuyến chia đôi các đoạn song song": đường thẳng BC đi qua trung điểm C của AG thì cũng đi qua trung điểm của mọi đoạn song song với AG chắn bởi BA, BG. Việc dựng thêm điểm G là bước quyết định.

Muốn luyện đủ 30 bài có lời giải chi tiết?

Cuốn “30 bài toán nâng cao – Ôn thi cuối học kì 1 – Toán 9” của Thầy Thế Anh có đủ 30 bài chọn lọc từ đề thi thật của các trường. Bài được chia theo dạng và có mức độ ★. Mỗi bài có lời giải từng bước, hình vẽ và nhận xét.

Nhận miễn phí bản đọc thử 6 bài (nhắn Zalo 0986 683 218: “ĐỌC THỬ 9”) hoặc mua bản đầy đủ, mã sách T9HK1.